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Laboratoire des Sciences pour la Conception, l'Optimisation et la Production de Grenoble
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Optimisation globale déterministe en dimensionnement sous contraintes fonctionnelles

Titre de la thèse :
Optimisation globale déterministe en dimensionnement sous contraintes fonctionnelles
Directeur(s) de thèse : Khaled Hadj-Hamou
Ecole doctorale : I-MEP2
Date de début (souhaitée) : octobre 2013
Financements envisagés - Contexte - Partenaires éventuels
Description du sujet
Résumé du Projet
L'objectif de ce projet de thèse est de développer de nouveaux algorithmes déterministes d'optimisation globale dans le domaine du dimensionnement en ingénierie. Les modèles physiques, analytiques, représentatifs d'applications en conception présentent des caractéristiques mathématiques non-linéaires, non-convexes et comprennent en particulier des fonctionnelles de type équations différentielles.
Le caractère exploratoire de la thèse concerne l'approximation et le filtrage de contraintes de type équations différentielles définies par morceaux dans des algorithmes déterministes d'optimisation globale à base de calcul d'intervalle et de propagation de contraintes.
Mots clés : optimisation globale, calcul d'intervalle, propagation de contraintes, équations différentielles, contrainte par morceaux, dimensionnement en ingénierie
Contexte
Le contexte actuel du développement de produits évolue à cause de la prise en compte des aspects éco-conception dès les premières phases dites de pré-dimensionnement. Les concepteurs sont amenés à quantifier plusieurs solutions cohérentes avec le besoin. Ils utilisent des modèles mathématiques décrivant des lois et des comportements multi-physiques (thermique, électrique, mécanique...). Ces modèles sont à base d'équations algébriques comportant aussi des fonctionnelles (équations différentielles, intégrales...) auxquelles s'ajoutent les contraintes du cahier des charges. Tout ceci conduit à des modèles d'optimisation naturellement dynamiques, non-linéaires et non-convexes.
Projet de thèse
Dans la phase de dimensionnement optimal, il est usuel d'utiliser soit des algorithmes d'optimisation locale (méthodes de gradient, SQP...) ou des algorithmes d'optimisation stochastique (algorithmes génétiques GA, essaims particulaires PSO...).
Dans le cas de problèmes avec contraintes fonctionnelles, la difficulté des algorithmes d'optimisation locale est d'identifier une solution initiale réalisable ainsi que d'estimer les dérivées. D'autre part, les algorithmes stochastiques qui s'affranchissent de la nécessité de démarrer avec des solutions réalisables et de l'usage des dérivées, nécessitent un nombre important d'évaluations du modèle et un réglage heuristique des paramètres.
Pour pallier les inconvénients de ces deux familles d'algorithmes, nous souhaitons explorer la possibilité d'utiliser des algorithmes déterministes d'optimisation globale pour garantir à la fois l'optimalité et la globalité des solutions ou pour fournir la preuve de leur non-existence. En effet, l'optimisation dans le cadre de modèles analytiques avec fonctionnelles (dynamiques) est un enjeu fort en ingénierie multi-physique.
Les modèles dynamiques que nous souhaitons traités contiennent des équations différentielles ordinaires ODE définies par morceaux. En pratique, dans beaucoup de domaines d'ingénierie il n'existe pas de formulation unique et simple d'une trajectoire en fonction du temps. Une ODE par morceaux est une contrainte définie sur une réunion d'intervalles temps et dont la restriction à chacun de ces intervalles est donnée par une expression fonctionnelle. Un des problèmes posé par la construction d'une contrainte ODE par morceaux est la connaissance a priori des intervalles temps de définition de chaque morceau. En effet, ces intervalles dépendent en général de la résolution de un ou plusieurs morceaux de l'ODE donc identifiés a posteriori.
Nous avons déjà une expérience dans le développement d'algorithmes d'optimisation globale avec des applications en ingénierie. Pour traiter les problèmes statiques (sans fonctionnelles), des algorithmes exactes de type Branch & Bound fondés sur le calcul d'intervalles associés à des techniques de propagation de contraintes ont été développés et testés sur des problèmes de prédimensionnement. Ces algorithmes ont été améliorés par l'utilisation de techniques de reformulation analytique.
A notre connaissance, nous n'avons pas trouvé de travaux spécifiques sur des algorithmes déterministes d'optimisation globale pour la résolution de modèles dynamiques comportant des contraintes fonctionnelles définies par morceaux. Ces algorithmes déterministes doivent être étendus.
En effet, il est indispensable de traiter les ODE par morceaux directement au coeur de la procédure de Branch & Bound. Nous souhaitons explorer la possibilité d'approximer et de filtrer le domaine des solutions des ODE par morceaux conjointement avec les autres contraintes algébriques au coeur d'un
algorithme déterministe d'optimisation.
Un travail préliminaire a permis de se faire une première expérience sur la résolution des ODE avec des bibliothèques de calcul d'intervalles. Nous explorerons en particulier l'intérêt de déployer les outils développés par Nedialkov et la bibliothèque VNODE-LP dans le corps des procédures Branch & Bound. Nous adapterons ces algorithmes pour prendre en compte conjointement les morceaux des ODE et les autres contraintes algébriques.
D'autre part, nous souhaitons exploiter l'intérêt des relaxations affines pour la prise en compte des ODE dans les algorithmes Branch & Bound. En effet, des travaux récents sur l'arithmétique affine ont montré des résultats prometteurs pour améliorer la résolution, mais ces techniques n'ont encore jamais été appliquées aux contraintes ODE et encore moins aux fonctionnelles définies par morceaux.
Planning
Nous proposons de structurer le projet en trois principales phases :
  • Phase 1 : analyse et sélection des modèles métiers
Ce projet fait suite à des travaux dans le domaine de l'ingénierie qui ont débouché sur l'élaboration de plusieurs modèles industriels. Il s'agit ici de définir une typologie des modèles (industriels) dynamiques à base de fonctionnelles que nous désirons traiter.
  • Phase 2 : développement théorique de nouveaux algorithmes
A partir des modèles identifiés dans la première phase, il conviendra d'élaborer de nouveaux algorithmes d'optimisation et de propagation de contraintes plus rigoureux afin de prendre en compte la complexité nouvelle que les fonctionnelles amènent.
  • Phase 3 : implémentation, tests et amélioration
Profil recherché
Le candidat disposera idéalement d'une double compétence en informatique et en mathématiques appliquées (ingénieur ou master). Des capacités de compréhension des modèles relevant des sciences pour l'ingénieur seraient appréciées.

mise à jour le 2 mai 2013

  • Tutelle CNRS
  • Tutelle Grenoble INP
  • Université Joseph Fourier
  • Tutelle UMR
Univ. Grenoble Alpes