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Laboratoire des Sciences pour la Conception, l'Optimisation et la Production de Grenoble
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Thèse Hugo JOUDRIER

Auteur : Hugo JOUDRIER
Directeur de thèse : Khaled HADJ-HAMOU
Date : 19 janvier 2018

Optimisation Globale Déterministe et Garantie sous Contraintes Algébriques
et Différentielles par Morceaux


Dans ce travail, je présente une approche basée sur des méthodes garanties pour résoudre des problèmes d’optimisation de systèmes dynamiques multi-physiques. Ces systèmes trouvent des applications directes dans des domaines variés tels que la conception en ingéniérie, la modélisation de réactions chimiques, la simulation de systèmes biologiques ou la prédiction de la performance sportive.

La résolution de ces problèmes d’optimisation s’effectue en deux phases. La première consiste à mettre le problème en équations sous forme d’un modèle mathématique constitué d’un ensemble de variables, d’un ensemble de contraintes algébriques et fonctionelles ainsi que de fonctions de coût. Celles-ci sont utilisées lors de la seconde phase qui consiste à extraire du modèle les solutions optimales selon plusieurs critères (volume, poids, etc).

Les contraintes algébriques permettent de manipuler des grandeurs statiques (quantité, taille, densité, etc). Elles sont non linéaires, non convexes et parfois discontinues. Les contraintes fonctionnelles permettent de manipuler des grandeurs dynamiques. Ces contraintes peuvent être relativement simples comme la monotonie ou la périodicité, mais aussi bien plus complexe par la prise en compte de contraintes différentielles simples ou définies par morceaux. Les équations différentielles sont utilisées pour modéliser des comportements physico-chimiques (magnétiques, thermiques, etc) et d’autres caractéristiques qui varient lors de l’évolution du système.

Il existe plusieurs niveaux d’approximation pour chacune de ces deux phases. Ces approximations donnent des résultats pertinents, mais elles ne permettent pas de garantir l’optimalité ni la réalisabilité des solutions.

Après avoir présenté un ensemble de méthodes garanties permettant de résoudre de manière garantie des équations différentielles ordinaires, nous formalisons un modèle particulier de systèmes hybrides sous la forme d’équations différentielles ordinaires par morceaux. A l’aide de plusieurs preuves et théorèmes nous étendons la première méthode de résolution pour résoudre de manière garantie ces équations différentielles par morceaux. Dans un second temps, nous intégrons ces deux méthodes au sein d’un module de programmation par contracteurs, que nous avons implémenté. Ce module basé sur des méthodes garantie permet de résoudre des problèmes de satisfaction de contraintes algébriques et fonctionnelles. Ce module est finalement utilisé dans un algorithme d’optimisation globale déterministe modulaire permettant de résoudre les problèmes considérés.



mise à jour le 8 janvier 2018

  • Tutelle CNRS
  • Tutelle Grenoble INP
  • Université Joseph Fourier
  • Tutelle UMR
Univ. Grenoble Alpes